Exercice 1
Mettre sous forme polaire:
- \(z = 230 + 40j\)
- \( z = \sqrt{6} – \frac{2}{3}j \)
- \(z = 3500 + 754j\)
Réponse 1
Pour mettre un nombre complexe sous forme polaire, il faut calculer son module et son déphasage(argument) :
Module :
$$ |Z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Déphasage (argument) :
$$ \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$
- \(
z = 230 + 40j
\)
$$ |z| = \sqrt{230^2 + 40^2} = 233.45 $$
$$ \varphi = \arctan\left(\frac{40}{230}\right) = 0.17 \text{ rad} $$
Donc, $$ z = 233.45\, <^{0.17\text{ rad}} $$
ou $$ z = 233.45\, e^{j\,0.17\text{ rad}} $$
2) \( z = \sqrt{6} – \frac{2}{3}j \)
$$ |z| = \sqrt{\left(\sqrt{6}^2+(-2/3)^2\right) } = 2.54 $$
$$ \varphi = \arctan\left( \frac{-2/3}{\sqrt{6}} \right) =-0.27 rad$$
Donc, $$ z = 2.54\, <^{-0.27\text{ rad}} $$
ou \[
z = 2.54\, e^{-j\,0.27\,\text{rad}}
\]
3. \(
z = 3500 + 754j
\)
$$ |z| = \sqrt{3500^2 + 754^2} = 3580.3 $$
$$ \varphi = \arctan\left(\frac{754}{3500}\right) = 0.21 \text{ rad} $$
Donc, $$ z = 3580.3\, <^{j\,0.21\text{ rad}} $$
ou $$ z = 3580.3\, e^{j\,0.21\text{ rad}} $$
Exercice 2
Mettre sous forme a+bj
\(1) z = 471.07\, <^{0.07\text{ rad}} \)
\(2) z = 12500.56\, <^{-0.46\text{ rad}} \)
\(3) z = 50.2\, <^{1.1\text{ rad}} \)
Réponse 2
On utilise la forme trigonométrique :
\[
z = |z|\,e^{j\varphi}
= |z|\bigl(\cos\varphi + j\,\sin\varphi\bigr)
\]
Donc: \[
\begin{aligned}
a &= |z|\cos\varphi \\
b &= |z|\sin\varphi
\end{aligned}
\]
1)\[
z = 471.07\bigl(\cos(0.07) + j\sin(0.07)\bigr)
\]
\[
z \approx 469.9 + j\,32.9
\]
2)
\[
z = 12500.56\bigl(\cos(-0.46) + j\sin(-0.46)\bigr)
\]
\[
z \approx 11189 – j\,5563
\]
3)\[
z = 50.2\bigl(\cos(1.1) + j\sin(1.1)\bigr)
\]
\[
z \approx 22.7 + j\,44.7
\]
Exercice 3
Calculez la somme des nombres complexes suivants :
\(
1.\quad z_1 = 3 + 4j \qquad z_2 = 2 – 5j
\)
\(
2.\quad z_1 = \sqrt{6} + \frac{2}{3}j \qquad z_2 = -12.5 + 3.2j
\)
\(
3.\quad z_1 = 1.5 \times 10^{4} + 34j \qquad z_2 = 2 \times 10^{3} – 150j
\)
Réponse 3
Pour effectuer la somme des nombres complexes, on additionne les parties réelles et les parties imaginaires séparément :
\(1.\quad z_1 = 3 + 4j \; ; \; z_2 = 2 – 5j\)
$$
z_1 + z_2 = (3 + 4j) + (2 – 5j)
$$
$$
= (3 + 2) + (4j – 5j) = 5 – j
$$
\(2.\quad z_1 = \sqrt{6} + \frac{2}{3}j \; ; \; z_2 = -12.5 + 3.2j\)
$$
z_1 + z_2 = (\sqrt{6} + \tfrac{2}{3}j) + (-12.5 + 3.2j)
$$
$$
= (\sqrt{6} – 12.5) + \left(\tfrac{2}{3}j + 3.2j\right)
$$
$$
\approx -10.0505 + 3.8667j
$$
\(3.\quad z_1 = 1.5 \times 10^{4} + 34j \; ; \; z_2 = 2 \times 10^{3} – 150j\)
$$
z_1 + z_2 = (1.5 \times 10^{4} + 34j) + (2 \times 10^{3} – 150j)
$$
$$
= (1.5 \times 10^{4} + 2 \times 10^{3}) + (34j – 150j)
$$
$$
= 17000 – 116j
$$
Exercice 4
Calculez \( z_1 – z_2 \) pour les nombres complexes suivants :
\(1.\quad z_1 = 3 + 4j \; ; \; z_2 = 2 – 5j\)
\(2.\quad z_1 = \sqrt{6} + \frac{2}{3}j \; ; \; z_2 = -12.5 + 3.2j\)
\(3.\quad z_1 = 1.5 \times 10^{6} + 340j \; ; \; z_2 = 5 \times 10^{5} – 15 \times 10^{2}j\)
Réponse 4
Pour effectuer la soustraction des nombres complexes, on soustrait les parties réelles et les parties imaginaires séparément :
\(1.\quad z_1 = 3 + 4j \; ; \; z_2 = 2 – 5j\)
$$
z_1 – z_2 = (3 + 4j) – (2 – 5j)
$$
$$
= (3 – 2) + (4j + 5j) = 1 + 9j
$$
\(2.\quad z_1 = \sqrt{6} + \frac{2}{3}j \; ; \; z_2 = -12.5 + 3.2j\)
$$z_1 – z_2 = (\sqrt{6} + \tfrac{2}{3}j) – (-12.5 + 3.2j) $$
$$ = (\sqrt{6} – (-12.5)) + \left(\tfrac{2}{3}j – 3.2j\right) $$
$$\approx 14.9495 – 2.5333j $$
\(3.
z_1 = 1.5\times 10^6 + 340j, \qquad z_2 = 5\times 10^5 – 15\times 10^2\, j
\)
\[
\begin{aligned}
z_1 – z_2 &= (1.5\times 10^6 + 340j) – (5\times 10^5 – 15\times 10^2\, j) \\
&= 1.5\times 10^6 – 5\times 10^5 + 340j – (-15\times 10^2\, j) \\
&= 10^6 + 1840j
\end{aligned}
\]
Exercice 5
Calculez le module et du déphasage(argument) :
\(1. z = 100+470j\)
\(2.
z = \sqrt{150} – 3j
\)
\(3.
z = (1.5\times 10^{4} – 150j)\,(2\times 10^{3} + 340j)
\)
Réponse 5
Rappel:
Calculez le module et du déphasage(argument) :
Module :
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Déphasage (argument) :
\[
\varphi = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\(1. z = 100+470j\)
\[
|z| = \sqrt{100^2 + 470^2} \approx 480.5
\]
\[
\varphi = \arctan\!\left(\frac{470}{100}\right)
\approx 1.36 \text{ rad} \approx 78.03^\circ
\]
\(2.
z = \sqrt{150} – 3j
\)
Module :
\[
|z| = \sqrt{(\sqrt{150})^2 + (-3)^2}
= \sqrt{150 + 9}
= \sqrt{159}
\]
Déphasage (argument) :
\[
\varphi = \arctan\!\left(\frac{-3}{\sqrt{150}}\right)
\]
\[
\varphi \approx -0.239 \text{ rad} \approx -13.69^\circ
\]
\(3.
z = (1.5\times 10^{4} – 150j)\,(2\times 10^{3} + 340j)
\)
\[
z=(1.5\times10^{4}-150j)(2\times10^{3}+340j)
\]
\[
\begin{aligned}
z &= (1.5\times10^{4})(2\times10^{3})
+ (1.5\times10^{4})\,340j
-150j(2\times10^{3})
-150j\cdot340j \\[4pt]
&= 3.0\times10^{7}
+ 5.1\times10^{6}j
– 3.0\times10^{5}j
– 5.1\times10^{4}j^2
\end{aligned}
\]
\[
= 3.0\times10^{7} + 5.1\times10^{4}
+ (5.1\times10^{6}-3.0\times10^{5})j
\]
\[
= 30\,051\,000 + 4\,800\,000\,j
\]
Module:
\[
|z| = \sqrt{(30\,051\,000)^2 + (4\,800\,000)^2}
\approx 3.043\times 10^{7}
\]
Déphasage (argument) :
\[
\varphi = \arctan\!\left(\frac{4\,800\,000}{30\,051\,000}\right)
\approx 0.159 \text{ rad} \approx 9.09^\circ
\]
Exercice 6
Calculer \(z_1 \times z_2\) pour les nombres complexes suivants :
\(1. \quad z_1 = 120 + 45j\ \quad z_2 = 25 – 7j\)
\(2.\quad z_1 = \sqrt{6} + \dfrac{2}{3}j \quad z_2 = -12.5 + 3.2j\)
\(3. \quad z_1 = 1.5\times 10^6 + 340j \quad z_2 = 5\times 10^5 – 15\times 10^2 j\)
Réponse 6
Pour effectuer le produit des nombres complexes, on a 2 façons :
1)Effectuer la multiplication habituelle et quand on a j2 il faut la remplacer par -1 ensuite on additionne les parties réelles et les parties imaginaires séparément
\(1. \quad z_1 = a + bj\, \quad z_2 = c+dj\)
z1 ×z2= (a+bj).(c+dj)=ac+adj+bcj+bdj2= (ac−bd)+(ad+bc)j
2) Mettre chaque nombre sous forme polaire et ensuite multiplier les modules entre eux et additionner les arguments (déphasages). Le résultat sera sous forme polaire, si besoin convertir à la forme a+bj.
\[
z_1 = a + bj = \sqrt{a^2 + b^2}\, e^{j \arctan\left(\frac{b}{a}\right)}
\]
\[
z_2 = c + dj = \sqrt{c^2 + d^2}\, e^{j \arctan\left(\frac{d}{c}\right)}
\]
\[
z_1 z_2
= \sqrt{a^2 + b^2}\,\sqrt{c^2 + d^2}\;
e^{j\left(\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)\right)}
\]
\(1. \quad z_1 = 120 + 45j\, \quad z_2 = 25 – 7j\)
Méthode 1
\begin{aligned}
z_1 z_2 &= (120 + 45j)(25 – 7j) \\
&= 120\times25 – 120\times7j + 45j\times25 – 45j\times7j \\
&= 3000 – 840j + 1125j – 315j^2 \\
&= 3000 + 315 + (1125 – 840)j \\
&= 3315 + 285j
\end{aligned}
Méthode 2
\[
z_1 z_2
= \sqrt{120^2 + 45^2}\;\times\;\sqrt{25^2 + 7^2}\;
e^{j\left(\arctan\left(\frac{45}{120}\right)+\arctan\left(\frac{-7}{25}\right)\right)}
\]
\[
z_1 z_2 = 3327.23 \angle 0.0858 \text{ rad}
\]
\[
z_1 z_2
= 3327.23\cos(0.0858) + 3327.23\sin(0.0858)\,j
\]
\[
z_1 z_2 \approx 3315 + 285j
\]
\(2.\quad z_1 = \sqrt{6} + \dfrac{2}{3}j \quad z_2 = -12.5 + 3.2j\)
Méthode 1
\begin{aligned}
z_1 z_2 &= \left(\sqrt{6} + \frac{2}{3}j\right)\left(-12.5 + 3.2j\right) \\
&= -12.5\sqrt{6} + 3.2\sqrt{6}\,j – \frac{25}{3}j + \frac{6.4}{3}j^2 \\
&= -12.5\sqrt{6} – \frac{6.4}{3} + \left(3.2\sqrt{6} – \frac{25}{3}\right)j
\end{aligned}
Méthode 2
\[
z_1 z_2
= \sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2}
\;\times\;
\sqrt{(12.5)^2 + (3.2)^2}\;
e^{j\left(
\arctan\left(\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{6}}\right)
+
\arctan\left(\frac{3.2}{-12.5}\right)
\right)}
\]
\[
z_1 z_2 \approx 32.76 \angle 3.16 \text{ rad}
\]
\[
z_1 z_2
= 32.76\cos(3.16) + 32.76\sin(3.16)\,j
\]
\[
z_1 z_2 \approx -32.75 – 0.49j
\]
\(3. \quad z_1 = 1.5\times 10^6 + 340j \quad z_2 = 5\times 10^5 – 15\times 10^2 j\)
Méthode 1
\begin{aligned}
z_1 z_2 &= (1.5\times 10^6 + 340j)(5\times 10^5 – 15\times 10^2 j) \\
&= 7.5\times 10^{11} – 2.25\times 10^9 j + 1.7\times 10^8 j – 5.1\times 10^5 j^2 \\
&= 7.5000051\times 10^{11} – 2.08\times 10^9 j
\end{aligned}
Méthode 2
\[
z_1 z_2
= \sqrt{(1,5\times 10^6)^2 + 340^2}
\;\times\;
\sqrt{(5\times 10^5)^2 + 1500^2}\;
e^{j\left(
\arctan\left(\frac{340}{1,5\times 10^6}\right)
+
\arctan\left(\frac{-1500}{5\times 10^5}\right)
\right)}
\]
\[
z_1 z_2 = 7,5\times 10^{11} \angle (-0,003)\ \text{rad}
\]
\[
z_1 z_2
= 7,5\times 10^{11}\cos(-0,003)
+ 7,5\times 10^{11}\sin(-0,003)\,j
\]
\[
z_1 z_2
\approx 7.5000051\times 10^{11} – 2.08\times 10^9 j
\]
Exercice 7
Calculez \(z_1 / z_2\) pour les nombres complexes suivants :
\(1. \quad z_1 = 3+4j\ \quad z_2 = 2−5j\)
\(2.\quad z_1 = 20+ \sqrt{14} j \quad z_2 =-125-3.2j\)
\(3. \quad z_1 = 5\times 10^4+ 534j \quad z_2 = 2\times 10^4 – 150 j\)
Réponse 7
Rappel:
Pour effectuer la division des nombres complexes, on a 2 façons :
1)Multiplier par l’expression conjuguée du dénominateur, remplacer j2 par -1 ensuite on additionne au numérateur les parties réelles et les parties imaginaires séparément
\(1. \quad z_1 = a + bj\, \quad z_2 = c+dj\)
\[
\frac{z_1}{z_2}
= \frac{z_1 \times z_2^{*}}{z_2 \times z_2^{*}}
= \frac{(a+bj)\times(c-dj)}{c^2+d^2}
= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)j}{c^2+d^2}
\]
2) Mettre chaque nombre sous forme polaire et ensuite | z1|/|z2| et soustraire argument1 de l’argument 2. Le résultat sera sous forme polaire, si besoin convertir à la forme a+bj.
Notez bien que la méthode 1 est ardue surtout quand on n’utilise pas de logiciel. Donc, on va la faire juste pour le premier, pour la montrer et c’est la méthode2 qu’on va utiliser puisqu’elle est plus facile.
\(1. \quad z_1 = 3+4j\ \quad z_2 = 2−5j\)
Méthode 1
\[
\frac{z_1}{z_2}
= \frac{3+4j}{2-5j}
= \frac{(3+4j)(2+5j)}{(2-5j)(2+5j)}
\]
\[
= \frac{3\times 2 + 3\times 5j + 4j\times 2 + 4j\times 5j}{2^2 + 5^2}
\]
\[
= \frac{-14 + 23j}{29}
= -\frac{14}{29} + \frac{23}{29}j
\]
\[
\approx -0.483 + 0.793j
\]
Méthode 2
\[
\frac{z_1}{z_2}
= \frac{\sqrt{3^2 + 4^2}\, e^{j\arctan\left(\frac{4}{3}\right)}}
{\sqrt{2^2 + 5^2}\, e^{j\arctan\left(\frac{-5}{2}\right)}}
\]
\[
= \frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{\sqrt{2^2 + 5^2}}\;
e^{j\left(\arctan\left(\frac{4}{3}\right)-\arctan\left(\frac{-5}{2}\right)\right)}
\]
\[
\frac{z_1}{z_2} = 0.928 \angle 2.118 \text{ rad}
\]
\[
\frac{z_1}{z_2}
= 0.928\cos(2.118) + 0.928\sin(2.118)\,j
\]
\[
\frac{z_1}{z_2} \approx -0.483 + 0.793j
\]
\(2.\quad z_1 = 20+ \sqrt{14} j \quad z_2 =-125-3.2j\)
Méthode 2
\[
\frac{z_1}{z_2}
= \frac{\sqrt{20^2 + (\sqrt{14})^2}\, e^{j\arctan\left(\frac{\sqrt{14}}{20}\right)}}
{\sqrt{125^2 + 3.2^2}\, e^{j\arctan\left(\frac{-3.2}{-125}\right)}}
\]
\[
= \frac{\sqrt{20^2 + (\sqrt{14})^2}}{\sqrt{125^2 + 3.2^2}}\;
e^{j\left(\arctan\left(\frac{\sqrt{14}}{20}\right)-\arctan\left(\frac{3.2}{125}\right)\right)}
\]
\[
\frac{z_1}{z_2} = 0.163 \angle 3.3 \text{ rad}
\]
\[
\frac{z_1}{z_2}
= 0.163\cos(3.3) + 0.163\sin(3.3)\,j
\]
\[
\frac{z_1}{z_2} \approx -0.161 – 0.026j
\]
\(3. \quad z_1 = 5\times 10^4+ 534j \quad z_2 = 2\times 10^4 – 150 j\)
Méthode 2
\[
\frac{z_1}{z_2}
= \frac{\sqrt{(5\times 10^4)^2 + 534^2}\, e^{j\arctan\left(\frac{534}{5\times 10^4}\right)}}
{\sqrt{(2\times 10^4)^2 + 150^2}\, e^{j\arctan\left(\frac{-150}{2\times 10^4}\right)}}
\]
\[
= \frac{\sqrt{(5\times 10^4)^2 + 534^2}}{\sqrt{(2\times 10^4)^2 + 150^2}}\;
e^{j\left(
\arctan\left(\frac{534}{5\times 10^4}\right)
–
\arctan\left(\frac{-150}{2\times 10^4}\right)
\right)}
\]
\[
\frac{z_1}{z_2} = 2.5 \angle 0.018 \text{ rad}
\]
\[
\frac{z_1}{z_2}
= 2.5\cos(0.018) + 2.5\sin(0.018)\,j
\]
\[
\frac{z_1}{z_2} \approx 2.5 + 0.045j
\]
Exercice 8
Calculez :
\(
A = (2+3j)(1-j) + (4-2j)
\)
\(
B = \frac{5-4j}{-9+2j} + 150
\)
\(
C = (154.6 + 10.8j)(-30 – 12j) – 735.4 + 128.5j
\)
Réponse 8
\(
A = (2+3j)(1-j) + (4-2j)
\)
On fait d’abord la multiplication puis on ajoute le résultat au deuxième nombre complexe
\[
(2+3j)(1-j)
= 2\times 1 + 2\times(-j) + 3j\times 1 + 3j\times(-j)
\]
\[
= 2 – 2j + 3j – 3j^2
\]
\[
= 2 – 2j + 3j + 3
= 5 + j
\]
\[
A = (5 + j) + (4 – 2j) = 9 – j
\]
\(
B = \frac{5-4j}{-9+2j} + 150
\)
On fait d’abord la division puis on ajoute le résultat au deuxième nombre complexe, on va utiliser la méthode 1 puisqu’on a une somme ensuite et que l’opération est facile:
\[
\frac{5-4j}{-9+2j}
= \frac{(5-4j)(-9-2j)}{(-9+2j)(-9-2j)}
\]
\[
= \frac{5(-9) + 5(-2j) + (-4j)(-9) + (-4j)(-2j)}{81 + 4}
\]
\[
= \frac{-45 – 10j + 36j + 8j^2}{85}
= \frac{-45 + 26j – 8}{85}
= \frac{-53 + 26j}{85}
\]
\[
\approx -0.6235 + 0.3059j
\]
\[
B = -0.6235 + 0.3059j + 150
\approx 149.38 + 0.31j
\]
\(
C = (154.6 + 10.8j)(-30 – 12j) – 735.4 + 128.5j
\)
On fait d’abord la multiplication puis on ajoute le résultat au deuxième nombre complexe
\[
(154.6 + 10.8j)(-30 – 12j)
= 154.6(-30) + 154.6(-12j) + 10.8j(-30) + 10.8j(-12j)
\]
\[
= -4638 – 1855.2j – 324j – 129.6j^2
\]
\[
= -4638 – 2179.2j + 129.6
\]
\[
= -4508.4 – 2179.2j
\]
\[
C = (-4508.4 – 2179.2j) – 735.4 + 128.5j
\]
\[
C = -5243.8 – 2050.7j
\]
