Loi de Student - calcul de probabilité
Exercices corrigé avec R
Vous cherchez à comprendre le calcul de probabilité avec la loi de Student ? Cette page vous guide pas à pas avec des exercices corrigés et des exemples concrets.
Apprenez à utiliser la loi de Student pour calculer des probabilités, déterminer des quantiles et interpréter les résultats avec R (fonctions pt() et qt()).
Les solutions sont détaillées pour vous aider à bien comprendre la loi de Student pour que vous sachiez l’appliquer correctement plus tard dans les tests t et les intervalles de confiance.
Parfait pour les étudiants en statistiques, HEG, HEC, économie ou data science.
Il est fortement conseillé de ne pas consulter la solution avant d’avoir tenté sérieusement de résoudre les exercices par vous-même. Cet effort personnel est essentiel pour renforcer votre compréhension.
Tous les calculs ont été effectués à l’aide du logiciel R.
Téléchargez le script au format .txt en cliquant ici, ouvrez-le avec RStudio, puis exécutez les lignes de code correspondantes à chaque exercice pour vérifier vos résultats ou obtenir un appui méthodologique.
Exercice 1
Soit T une variable suivant une loi Student à 15 degrés de liberté.
Déterminez avec une précision de 0.01:
- La probabilité que la variable aléatoire soit inférieure à 0.45
- La probabilité que la variable aléatoire soit entre -1.1 et 2.5
- Le quantile dont l’aire à gauche vaut 0.25
Réponse 1
1) On cherche P(T15< 0,45)≈ 0.67
Interprétation :
Il y a environ 67% de chances que la variable T soit inférieure à 0.45.
Autrement dit, 0.45 est une valeur légèrement au-dessus de la moyenne (0), ce qui explique que la probabilité soit supérieure à 0.5.
2)On cherche P(-1.1<T15< 2.5)= P(T15< 2.5)-P(T15<-1.1)≈ 0.84
Interprétation :
Environ 84% des valeurs de la variable T se situent entre -1.1 et 2.5.
Cela montre que la majorité des observations se trouvent dans cet intervalle, ce qui est cohérent avec la forme centrée et symétrique de la loi de Student.
3)On cherche le seuil q, tel que P(T15< q)=0.25
Comme p<0.5 on s’attend à un seuil (q)<0
q≈-0.69
Interprétation :
Le quantile à 25% vaut environ -0.69, ce qui signifie que 25% des valeurs de T sont inférieures à -0.69.
Comme cette probabilité est inférieure à 0.5, le quantile est situé à gauche de 0, ce qui est cohérent avec la symétrie de la distribution.
Visualisation des probabilités
Comment interpréter une probabilité avec la loi de Student ?
Une probabilité comme P(T < t) représente la proportion de valeurs inférieures à un seuil donné.
Les quantiles permettent de trouver une valeur seuil correspondant à une probabilité donnée, ce qui est essentiel dans les tests t et les intervalles de confiance.
Exercice 2
On s’intéresse au temps d’attente aux urgences (en minutes). Le temps d’attente de 20 patients est enregistré dans ce fichier de données.
1) Quelle loi peut modéliser la variable « temps d’attente » ? Justifiez votre réponse.
2) Estimez la probabilité qu’un patient ait un temps d’attente supérieur à 85 minutes. Précision \(10^{-4}\)
3) Discutez de la pertinence d’utiliser la loi de Student pour calculer cette probabilité.Précision \(10^{-4}\)
4) On s’intéresse maintenant à la moyenne μ de la population, supposée égale à 85 minutes.
On souhaite calculer la statistique de test suivante :
\[t = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]
a) Pourquoi la loi de Student est-elle appropriée dans ce contexte ?
b) Déterminez la probabilité que la statistique T soit inférieure à la valeur observée t. Précision \(10^{-4}\)
c) Quelle conclusion peut-on tirer de ce test ?
Réponse 2
1) Loi qui modélise le temps d’attente
- c’est une variable continue
- on calcule la moyenne, la médiane
\[\bar{x} ≈79.7, \qquad \text{médiane} ≈ 79.5\]
moyenne ≈médiane, ce qui signifie qu’il y a une symétrie autour de la moyenne
- et on trace l’histogramme
Ce graphique permet de vérifier visuellement si la loi normale est une bonne approximation des données.
Donc, la loi normale est un bon modèle pour les temps d’attente :X∼N(μ=79.7,σ²=11.8
2) Probabilité que temps d’attente soit supérieur à 85 min
P(x>85)= 0.3267
Environ 33% des patients attendent plus de 85 minutes.
3) Pertinence d’utiliser la loi de Student
On standardise la valeur 85 à partir de la moyenne et de l’écart-type empiriques,
\[z = \frac{x – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 79.7}{11.8}≈0.45\]
puis on approxime la probabilité à l’aide d’une loi de Student à n-1 degrés de liberté.
\[P(T_{19} > z)≈0.3292\]
En utilisant une approximation par la loi de Student après standardisation, on obtient une probabilité proche de celle obtenue avec la loi normale. Cette proximité s’explique par le fait que, pour 19 degrés de liberté, la loi de Student est déjà relativement proche de la loi normale.
4-a Pourquoi Student ?
Parce que :
- petit échantillon, n=20
- σ inconnu et estimation avec s.
4-b Probabilité que la statistique T soit inférieure à la valeur observée t.
On calcule:
\[t = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}= \frac{79.7 -85 }{\frac{11.8}{\sqrt{20}}}≈-2.0087\]
Maintenant, on peut calculer:
\[P(T_{19}<t=-2.0087)≈0.0295\]
4-c Conclusion
Il y a environ 2.3% de chances d’obtenir une statistique aussi extrême si μ =85 min
On a trouvé précédemment que P(X > 85) ≈ 0.33
Cela signifie qu’environ 33% des patients attendent plus de 85 minutes.
Donc, 85 minutes n’est pas une valeur exceptionnelle pour un temps d’attente individuel.
En revanche, si l’on suppose que la moyenne des temps d’attente est de 85 minutes,
on observe que la probabilité d’obtenir une moyenne d’échantillon aussi éloignée que celle observée est très faible (≈ 2.3%).
Cette différence s’explique notamment par le fait que l’on travaille ici avec un échantillon de taille relativement petite (n = 20),
ce qui introduit une incertitude supplémentaire sur l’estimation de la moyenne et justifie l’utilisation de la loi de Student.
Ainsi :
– une valeur individuelle peut être fréquente,
– mais une moyenne calculée sur un échantillon (même petit) a tendance à être plus stable.
Une valeur comme 85 minutes est donc assez fréquente pour un patient pris individuellement, mais peu plausible comme moyenne globale.
