Dénombrement ou analyse combinatoire avec 6 exercices

Il est fortement conseillé de ne pas consulter la solution avant d’avoir réellement essayé de résoudre l’exercice. Le logiciel R a été utilisé pour tous les calculs. Téléchargez ici le script au format TXT, ouvrez-le avec RStudio et exécutez-le pour chaque exercice.
Si vous préférez utiliser Excel, chaque exercice est disponible dans une feuille (de l’ancienne version du site )  à télécharger ici.

Exercice 1

Un jeu pour enfants est formé par 6 cubes alignés. Combien de jeu différent peut-on former à l’aide de 4 cubes rouges et de 2 cubes bleus ?

Réponse 1

On va prendre l’ensemble (tous les cube)  et que certains éléments(cubes) sont identiques (cubes rouges et cubes bleus)c’est une permutation avec répétition, ce qui revient à trouver 6!/(4!*2 !) =15  jeux différents.

Exercice 2

Pour un recrutement, on doit engager un directeur, d’un directeur adjoint, un chef de département et d’un responsable de service. Combien de possibilités y a-t-il de procéder aux attributions de postes

a. Si l’on a retenu 4 candidats de mêmes compétences ;

b. Si l’on a retenu 6 candidats de mêmes compétences

Réponse 2

a. On a retenu 4 candidats de mêmes compétences et on va tous les prendre donc c’est une permutation simple :4 ! =24 attributions

b. On a retenu 6 candidats de mêmes compétences et on va en choisir 4, l’ordre est important. Donc, c’est arrangement simple :A64=360 attributions

Exercice 3

Un vendeur de souvenirs a sur son petit étale 25 porte-clés, 5 écharpes unis, 5 écharpes à motifs,  16 stylos (6 rouges et 10 noirs) et 6 marque-pages (2 à motifs,  2 à fleurs et 2 unis). Pour attirer les touristes, il tient 2 écharpes et 3 porte-clés et 2 marque-pages.

  1. Combien d’échantillons peut-il composer de ces articles qu’il a choisis?
  2. Combien d’échantillons d’articles différents composés de 2 stylos, 2 marque- pages peut-il composer ?
Réponse 3
  1. Il peut choisir les 2 écharpes parmi les 10 (unis et à motifs), 3 porte-clés parmi les 25 et 2 marque-pages. L’ordre ne compte pas et les éléments sont distincts, donc c’est une combinaison simple:

C210. C325. C26= 1552500   échantillons possibles.

2. Pour les marque- pages, on a MF ou FU ou MU, il veut que les articles soient différents, donc il peut prendre 1 parmi 2 de chaque type, ce qui correspond à :  =12 possibilités

C12. C12+ C12. C12+ C12. C12=12

Pour les stylos, on prend un rouge parmi les 6 et 1 noir parmi les 10 : =60

C16. C110=60

Donc, il y a 60. 12= 720 échantillons d’articles différents composés de 2 stylos et 2 marque-pages.

Exercice 4

Dans le cadre d’un jeu, il faut placer sur une rangée de 5 chaises, 5 étudiants dont Fred et Marie. Trouvons le nombre de façons de procéder :

    1. s’il n’y a pas de contrainte imposée ;
    2. si Fred et Marie doivent être placés côte à côte ;
    3. si Fred et Marie ne doivent pas être côte à côte
Réponse 4
  1. Le nombre de façons de procéder sans contrainte est 5 !, car placer cinq étudiants sur cinq chaises veut dire qu’on va prendre l’ensemble(tout le monde) et que les éléments(étudiants) sont différents donc c’est une permutation simple, ce qui revient à trouver 5! =120  façons de les placer sur les chaises.
  2. Si Fred et Marie doivent rester côte à côte, on peut considérer qu’ils forment un bloc indissociable ; de cette façon, on a alors quatre blocs à placer sur la rangée (un bloc de deux personnes et trois blocs d’une personne). Les quatre blocs peuvent être placés de 4! Façons puisque on va prendre tous les blocs. Et, à l’intérieur du bloc qu’ils forment, Fred et Marie peuvent être permutés de 2! façons. Donc il y a (4 !) (2 !) = 48 façons de faire le tout.
  3.  Le fait que Fred et Marie ne soient pas côte à côte cela revient à enlever de l’ensemble de toutes les façons de placer tout le monde, les possibilités où ils sont côte à côte. Donc : Nombre de façons de ne pas les placer côte à côte = Nombre total de façons de placer tout le monde – le nombre de façons de les placer côte à côte  = 120   – 48  = 72   possibilités.

Exercice 5

Pour la soutenance d’une thèse, on désire former un jury composé de 2 statisticiens et 3 économistes.

On peut choisir les membres du jury parmi 5 statisticiens et 7 économistes.

De combien de façons peut-on constituer le jury dans chacun des cas suivants:

  1. N’importe quel statisticien et n’importe quel économiste peuvent être choisis.
  2. Un statisticien particulier doit obligatoirement faire partie du jury.
  3. 2 économistes particuliers ne peuvent pas faire partie du même jury.
Réponse 5
  1. Le nombre de façons de constituer le jury avec n’importe quel statisticien et n’importe quel économiste : Ici on ne va pas prendre tout le monde on va choisir certains individus qui sont différents et comme l’ordre ne compte : C’est une combinaison simple et comme on doit prendre 2 statisticien parmi 5 =C25 et (*) 3 économistes parmi 7= C37 Ce qui revient à : C25. C37 =350 jurys possibles
  2. Le nombre de façons de constituer le jury avec  Un statisticien particulier doit obligatoirement faire partie du jury : Ici on a déjà Un statisticien, il ne reste à choisir l’autre parmi les 4 (5-1 statisticien particulier) =C14 et (*) 3 économistes parmi 7= C37 Ce qui revient à :

         C14. C37 =140 jurys possibles

   3. Le nombre de façons de constituer le jury avec 2 économistes particuliers ne peuvent pas faire partie du même jury.

Pour les statisticiens pas de contraintes donc on a C25 et pour les économistes on a 2 qui ne peuvent pas être ensemble donc soit on ne prend aucun d’eux et on choisit les 3 parmi les 5(7- ces 2 en particulier) ce  qui revient à C02 .C35  ou (+) on prend 1 par ces 2 particulier et on choisit le reste 2 parmi les 5 ce qui revient à C12 .C25il ne reste à choisir l’autre parmi Ainsi, on aura :

C25.( C02 .C35+ C12 .C25)= 300 jurys possibles.

Exercice 6

On voudrait générer un code à 6 chiffres pour un coffre.

Combien de codes peut-on générer si :

  1. Les répétitions sont autorisées?
  2. Tous les chiffres sont différents ?
  3. Le code n’ayant que deux chiffres qui apparaissent trois fois chacun par exemple 002022 ?
  4. Le codes n’ayant que trois chiffres qui apparaissent deux fois chacun par exemple 123312 ?
Réponse 6
  1. Le nombre de codes possibles à 6 chiffres si les répétitions sont autorisées. Ici l’ordre est important et les répétitions sont autorisées donc c’est un arrangement avec répétitions 106 codes possibles (10 parce qu’on peut choisir un nombre de 0 à 9)
  2. Le nombre de codes possibles à 6 chiffres si les répétitions ne sont pas autorisées. Ici l’ordre est toujours important donc :

     A610= 151200 codes possibles.

    3. Le nombre de codes possibles à 6 chiffres si le code  n’ayant que deux chiffres qui apparaissent trois fois chacun par exemple 002022. Il y a      plusieurs façons de faire, celle là est plus facile et intuitive : Je choisis le 1er chiffres donc 10 possibilités et je place ce même chiffre ce qui veut dire que j’ai 2 place parmi 5 puisque j’ai déjà la première place donc 10. C25 il reste à choisir le 2eme chiffre qui doit être différent du 1er donc j’ai 9 possibilités et il occupera le reste des places donc : 10. C25.9= 900 codes possibles

    4. Le nombre de codes possibles à 6 chiffres si le code n’ayant que 3 chiffres qui apparaissent 2 fois chacun, on procède de la même manière : Je choisis le 1er chiffres donc 10 possibilités et je place ce même chiffre ce qui veut dire que j’ai 1 place parmi 5 puisque j’ai déjà la première place donc 10. C15, on choisit le 2eme chiffre qui doit être différent du 1er donc j’ai 9 possibilités et il y a 1 parmi 3 place donc 9. C13 il reste à choisir le 3eme chiffre qui doit être différent du 1er et du 2eme donc j’ai 8 possibilités et il occupera le reste des places donc :

  1. C15.9. C13 .8 = 10800 codes possibles

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